Vectores en el plano

Tema 1. Vectores en el plano. Operaciones básicas con vectores. Producto escalar de vectores en el plano. Aplicaciones.

Un vector permite describir un desplazamiento, una velocidad o una fuerza indicando cuánto vale y hacia dónde actúa. En este tema se trabaja con sus componentes en el plano y se aprende a calcular longitudes, ángulos y proyecciones sobre una dirección.

Índice

1. Vectores en el plano.
2. Operaciones básicas con vectores.
3. Producto escalar de vectores en el plano.
4. Aplicaciones.

1. Vectores en el plano.

1.1 Módulo, dirección y sentido

Un vector se representa mediante una flecha. Su módulo es la longitud; su dirección es la orientación de la recta que lo contiene; y su sentido indica hacia cuál de los dos lados de esa recta apunta.

Por ejemplo, dos desplazamientos de 5 m hacia el este y de 5 m hacia el oeste tienen el mismo módulo y la misma dirección horizontal, pero sentidos opuestos.

1.2 Componentes cartesianas

En unos ejes perpendiculares con la misma unidad de escala, un vector del plano se expresa mediante una componente horizontal y otra vertical:

$$\vec{v} = ({v}_{x}, {v}_{y})$$

La primera componente, vx, indica el desplazamiento horizontal; la segunda, vy, el vertical. Los subíndices x e y identifican el eje de cada componente. El signo positivo corresponde, respectivamente, a derecha y arriba.

Ejemplo. v = (3, 2) significa avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 hacia arriba. Para representarlo desde el origen, la flecha comienza en (0, 0) y termina en (3, 2).

1.3 Vector definido por dos puntos

Si A = (x₁, y₁) es el origen de una flecha y B = (x₂, y₂) su extremo, sus componentes se obtienen restando las coordenadas del origen a las del extremo: destino menos origen.

$$\vec{AB} = ({x}_{2} - {x}_{1}, {y}_{2} - {y}_{1})$$

Ejemplo. Para A = (1, −2) y B = (4, 2):

$$\vec{AB} = (4 - 1, 2 - (-2)) = (3, 4)$$

Para ir de A a B se avanza 3 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba. Al invertir el recorrido, cambia el signo de ambas componentes:

$$\vec{BA} = (-3, -4) = -\vec{AB}$$

1.4 Módulo y vector nulo

Para un vector v = (vx, vy), los valores absolutos de vx y vy son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, el módulo es:

$$|\vec{v}| = \sqrt{{{v}_{x}}^{2} + {{v}_{y}}^{2}}$$

Ejemplo. Para v = (3, 4):

$$|\vec{v}| = \sqrt{{3}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{25} = 5$$

El vector (−3, −4) también tiene módulo 5: los signos de las componentes desaparecen al elevarlas al cuadrado. Las componentes son desplazamientos con signo; el módulo es una longitud.

1.5 Vectores unitarios

Un vector unitario tiene módulo 1. Para obtener uno con la misma dirección y sentido que un vector distinto de cero, se divide cada componente por su módulo:

$$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} ; |\vec{e}| = 1$$

Ejemplo. Si v = (3, 4), su módulo es 5 y el unitario correspondiente es:

$$\vec{e} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$$

Sus componentes son 0,6 y 0,8, y su módulo es 1. Este vector apunta hacia el mismo lado que (3, 4), pero su longitud es una unidad.

Los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) son los unitarios de los ejes. Un vector v = (vx, vy) puede escribirse como v = vx i + vy j. Por ejemplo, (3, 4) = 3i + 4j.

2. Operaciones básicas con vectores.

2.1 Suma

Si a = (ax, ay) y b = (bx, by), se suman las componentes que corresponden al mismo eje:

$$({a}_{x}, {a}_{y}) + ({b}_{x}, {b}_{y}) = ({a}_{x} + {b}_{x}, {a}_{y} + {b}_{y})$$

Ejemplo. Si a = (2, −1) y b = (−3, 4):

$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-3), -1 + 4) = (-1, 3)$$

Geométricamente, se coloca el origen del segundo vector en el extremo del primero. La suma va desde el origen inicial hasta el extremo final. En un recorrido, expresa el desplazamiento total.

También puede usarse la regla del paralelogramo: se dibujan ambos vectores desde el mismo origen y la diagonal que parte de él representa la suma. El resultado no depende del orden: $a + b = b + a$.

Los módulos no se suman en general. Si a = (3, 0) y b = (0, 4), sus módulos son 3 y 4, pero el de a + b = (3, 4) es 5, no 7. La suma de módulos coincide con el módulo de la suma cuando los vectores no nulos tienen la misma dirección y sentido.

2.2 Resta y vector opuesto

Restar b equivale a sumar su opuesto, −b. El opuesto tiene las dos componentes cambiadas de signo.

$$\vec{a} - \vec{b} = ({a}_{x} - {b}_{x}, {a}_{y} - {b}_{y})$$

Con a = (2, −1) y b = (−3, 4):

$$\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-3), -1 - 4) = (5, -5)$$

Si ambos se dibujan desde un origen común, a − b es el vector que va del extremo de b al extremo de a. A diferencia de la suma, la resta cambia al invertir el orden: $b - a = -(a - b).$

2.3 Multiplicación por un escalar

Un escalar es un número. Para multiplicar un vector por k, se multiplica cada componente por ese mismo número:

$$k\vec{v} = (k{v}_{x}, k{v}_{y}) ; |k\vec{v}| = |k| |\vec{v}|$$

Si k $\gt$ 0, se conserva el sentido; si k $\lt$ 0, se invierte. El módulo se multiplica por |k|: aumenta si |k| $\gt$ 1 y disminuye si 0 $\lt$ |k| $\lt$ 1. Si k = 0, el resultado es el vector nulo.

Ejemplo. Para a = (2, −1) y k = -2:

$$-2a = (-4, 2)$$

Su módulo se duplica y su sentido se invierte.

En cambio, para k=1/2:

$$(1/2)a = (1; -0,5)$$

tiene la mitad del módulo y conserva el sentido.

2.4 Operaciones combinadas

También pueden combinarse varias operaciones: se multiplican vectores por números y después se suman o restan. Hay que respetar ese orden de cálculo.

Ejemplo. Si a = (2, −1) y b = (−3, 4):

$$2\vec{a} - \vec{b} = (4, -2) - (-3, 4) = (7, -6)$$

3. Producto escalar de vectores en el plano.

3.1 Cálculo mediante componentes

Si a = (ax, ay) y b = (bx, by), el producto escalar se obtiene multiplicando sus componentes del mismo eje y sumando los dos resultados:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = {a}_{x}{b}_{x} + {a}_{y}{b}_{y}$$

Ejemplo. Para a = (2, 1) y b = (3, −2):

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 6 - 2 = 4$$

El resultado es el número escalar 4.

Conviene distinguir esta operación del producto de un número por un vector, cuyo resultado sí es otro vector.

El orden de los factores no altera el producto escalar:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$

3.2 Significado geométrico

El producto escalar también relaciona los módulos con el ángulo θ que forman dos vectores no nulos, colocados con un origen común:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$

Se toma el ángulo comprendido entre 0° y 180°. Como los módulos son positivos, el signo del producto escalar depende del coseno: es positivo para un ángulo agudo, cero para 90° y negativo para un ángulo obtuso. En 0° es positivo y en 180° es negativo.

Ejemplo. a = (2, 0) y b = (−1, 1) tienen producto escalar −2. Sin calcular todavía el ángulo, sabemos que es mayor que 90°.

El signo del producto escalar depende del ángulo entre los vectores.

4. Aplicaciones.

4.1 Perpendicularidad

Dos vectores distintos de cero son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90°. Para comprobarlo, basta calcular su producto escalar: debe dar cero, porque cos 90° = 0.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Ejemplo. Para a = (2, 1) y b = (1, −2):

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0$$

Por tanto, son perpendiculares.

También puede aparecer una incógnita. Si (2, 3) y (k, 4) deben ser perpendiculares, se plantea 2k + 3 · 4 = 0; de ahí, k = −6.

Esta comprobación se aplica a vectores distintos de cero. El vector (0, 0) da producto escalar cero con cualquier vector, pero no tiene una dirección definida.

4.2 Ángulo entre dos vectores

Despejando el coseno en la expresión geométrica del producto escalar:

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

Ejemplo. Para a = (1, 0) y b = (1, 1):

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 ; |\vec{a}| = 1 ; |\vec{b}| = \sqrt{2}$$

$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} ; \theta = 45^\circ$$

4.3 Paralelismo

Dos vectores no nulos son paralelos si uno se obtiene multiplicando el otro por un escalar no nulo. Por ejemplo, (2, 4) y (−1, −2) son paralelos, porque el primero es −2 veces el segundo.

Puede comprobarse el paralelismo mediante:

$${a}_{x}{b}_{y} - {a}_{y}{b}_{x} = 0$$

Por ejemplo, para $a=(2, 4)$ y $b=(-1,-2)$:

$$2\left(-2\right)-4\left(-1\right)=-4+4=0$$

Por lo tanto, los vectores $a$ y $b$ son paralelos.

4.4 Distancia entre dos puntos

La distancia entre A y B es el módulo del vector que los une. Primero se restan las coordenadas y después se calcula el módulo:

$$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{{({x}_{2} - {x}_{1})}^{2} + {({y}_{2} - {y}_{1})}^{2}}$$

Por ejemplo, para A = (1, −2) y B = (4, 2):

$$d(A, B) = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - (-2))}^{2}} = 5$$

La distancia es la misma en ambos sentidos, aunque AB y BA sean vectores opuestos.

4.5 Proyección de un vector sobre una recta

Proyectar un vector sobre una recta es obtener su «sombra» sobre ella. En el gráfico, desde la punta de u trazamos una perpendicular hasta la recta. El vector que va desde el origen hasta ese punto es la proyección p.

Para calcularla necesitamos dos vectores:

• $u$: el vector que queremos proyectar.
• $d$: un vector que indique la dirección de la recta. Si conocemos dos puntos de ella, se obtiene haciendo d = Q − P.

La proyección se calcula con:

$$\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{d}}{{|\vec{d}|}^{2}}\vec{d}$$

¿Por qué se calcula así?

El cociente indica por qué número debemos multiplicar $d$ para obtener la proyección.

El producto escalar $u \cdot d$ recoge la parte de $u$ que va en la dirección de $d$: la parte perpendicular no aporta nada, porque su producto escalar con $d$ es cero.

El denominador ajusta el cálculo al tamaño del vector director elegido; así, la proyección no cambia si usamos otro vector de la misma dirección.

Ejemplo. Proyectamos $u = (2, 1)$ sobre la recta que pasa por $P = (-3, 1)$ y $Q = (-1, 3).$

Primero obtenemos un vector que marque la dirección de la recta:

$$d = Q - P = (-1 + 3, 3 - 1) = (2, 2)$$

Calculamos las dos cantidades que aparecen en la fracción:

$$u \cdot d = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6$$

$$|d|^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8$$

El cociente es $6/8 = 3/4$: la proyección es tres cuartas partes del vector d y tiene su mismo sentido, porque el factor es positivo. Multiplicamos cada componente:

$$p = \frac{6}{8} (2, 2) = (\frac{6}{8} \cdot 2, \frac{6}{8} \cdot 2) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$$

Ya tenemos el vector proyectado. Para obtener su longitud, calculamos su módulo:

$$|p| = \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Fórmulas para resolver ejercicios

Practica este tema con preguntas de examen tipo test en la plataforma OpoMeteo.es